Вам необходимо добавить событие onclick для каждой строки в событии OnRowDataBound GridView, например:
protected void GridView1_RowDataBound(object sender, GridViewRowEventArgs e)
{
e.Row.Attributes["onclick"] = ClientScript.GetPostBackClientHyperlink(e.Row, String.Empty);
}
Когда вы щелкаете по строке, происходит обратная передача. Тогда вы можете выполнить любую логику, необходимую вам.