Первоначальный запрос к http://www.mysite.com отправит все файлы cookie, связанные с доменом, но их не должно быть, если вы используете весь свой трафик на https://www.mysite.com
(при условии, что ваши файлы cookie настроены только как безопасные)
Edit:
Пропущена часть, касающаяся входа в систему ... если сайт использует стандартную проверку подлинности с помощью форм, вы должны сделать что-то подобное в web.config, и он должен позаботиться об этом за вас (requireSSL):
<authentication mode="Forms">
<forms loginUrl="Login.aspx" timeout="15" slidingExpiration="true" requireSSL="true"/>
</authentication>
Редактировать # 2:
Мне было бы любопытно, если бы вы могли принудительно установить это на уровне сайта для всех файлов cookie (без проверки подлинности с помощью форм), и, похоже, вы можете добавить это в файл конфигурации:
<httpCookies domain="String" requireSSL="true" />