На #main-nav необходимо удалить правило filter. filter приводит к тому, что Internet Explorer ведет себя так, как будто вы применили overflow: hidden к элементу.
Теперь ваше выпадающее меню работает, но оно утратило градиент.
Вы можете добавить градиент обратно таким способом, который не вызовет той же проблемы, добавив те же filter, которые вы только что удалили, к #menu-category-navigation. Насколько я могу судить, это выглядит идентично.