Когда открывается браузер B (при условии, что это совершенно другой браузер или новый экземпляр того же браузера), создается новый сеанс;следовательно, то, что вы видите, является ожидаемым поведением.
Кроме того, я предполагаю, что вы упомянули об этом, потому что вы храните в сеансе какой-то ключ, который указывает, что пользователь вошел в систему успешно, правильно?
Есливам нужно такое поведение, вам нужно отправить какой-то файл cookie для аутентификации с большой датой истечения срока действия, затем вы прочитаете файл cookie на странице входа в систему и сочтете, что пользователь успешно прошел аутентификацию, но имейте в виду, что это потенциальнориск безопасности.