Вам просто нужно установить свойство DataContext TextBlock (или его родителя) для экземпляра этого класса.Затем свяжите свойство Text со свойством backing следующим образом:
<TextBlock Text="{Binding Name}"/>
Попробуйте пройти несколько онлайн-уроков (или книгу) вместо того, чтобы пытаться проложить себе путь.Легко понять, как работает DataBinding.
Обновление: после того, как я правильно отформатировал ваш вопрос, я смог увидеть используемый вами XAML ...
Ошибка здесь в том, что вы пытаетесьиспользовать свойство ElementName (которое используется для связывания одного элемента пользовательского интерфейса с другим по имени).Это не то, чего вы пытаетесь достичь.