Вы должны убедиться, что ваши рекурсивные вызовы для поиска возвращаются, если результат не равен нулю.
Как-то так должно работать ...
private Node search(String name, Node node){
if(node != null){
if(node.name().equals(name)){
return node;
} else {
Node foundNode = search(name, node.left);
if(foundNode == null) {
foundNode = search(name, node.right);
}
return foundNode;
}
} else {
return null;
}
}