Сделать уникальный индекс на «Имя»
for example, in shell: db.MyCollection.ensureIndex({"Name":1}, {unique = true})
Добавить InsertOptions
var options = new MongoInsertOptions (myCollection) { CheckElementNames = true, Flags = InsertFlags.ContinueOnError, SafeMode = SafeMode.True};
var res = myCollection.InsertBatch(value.Split(',').Where(o => !string.IsNullOrEmpty(o)).Select(o => new Client { Name = o.Trim() }), options);