Вы можете узнать, как правильно использовать cURL с PHP, в документации PHP cURL . Документация там проста для изучения и понимания, если у вас есть базовое понимание HTTP.
Вам решать, как вы обрабатываете ответы от cURL. cURL даст вам заголовки и текст HTTP-ответа. Если вы создаете API для пользователей, чтобы запрашивать сторонние сайты, вам решать, как обрабатывать ответы, полученные от этих сайтов.
Зачем вам нужен cURL для сокращения URL, могу я спросить? Задача сокращения URL-адресов заключается в перенаправлении пользователей, когда они заходят по ссылкам. Запрос сторонних сайтов не является частью работы.