DataGridCell имеет свойство IsEditing, которое при значении true переводит ячейку в режим редактирования.Итак, в первом столбце поместите это значение true в стиль, нацеленный на тип ячейки таблицы данных ...
<DataGridTemplateColumn ...>
<DataGridTemplateColumn.CellStyle>
<Style TargetType="{x:Type DataGridCell}">
<Setter Property="IsEditing" Value="True" />
</Style>
</DataGridTemplateColumn.CellStyle>
</DataGridTemplateColumn>
Дайте мне знать, если это поможет.