Проблема не в parent
, а в предположении, что будет глобальная переменная только потому, что у чего-то есть имя. Это нестандартный IEism, принятый WebKit (хотя я думаю, что он может работать только в режиме Quirks, который лучше избегать в любом случае).
parent.document.getElementsByName('NameOfTheInputElement')[0].value = ...;
... должен сделать работу.