То, что вы описываете, невозможно. Поток / среда выполнения JavaScript находится в пределах области загруженной страницы, поэтому при выгрузке страницы также выгружается JavaScript. Когда асинхронный вызов возвращается, и браузер отошел от страницы, пользователь получит ошибку JS.
Вы можете сделать ваш веб-сервис / вызов AJAX синхронным и заблокировать до тех пор, пока сервер не вернет ответ, но, конечно, это означает, что страница будет ожидать ответа перед выгрузкой.