Это связано с тем, что метод "trim" не поддерживается ни в одной версии IE9.
Если вы избавитесь от обивки, она работает просто отлично:
$('#application').change(function(){
var selected = $.trim($(this).val());
alert(selected);
if(selected == 'something') {
$('#profile-info').show();
}
});
Проверьте консоль ошибок в инструментах разработчика IE (нажмите F12), чтобы увидеть полученную ошибку JavaScript.
Посмотрите мой пример работы в IE8: http://jsfiddle.net/Ku8HL/1/.
РЕДАКТИРОВАТЬ: jQuery на самом деле имеет метод обрезки, так что вы можете использовать $ .trim для достижения того же. IE8 и ниже не имеют метода обрезки объекта String. Я обновил приведенный выше код и jsfiddle для включения метода усечения jQuery.