Теперь я отвечу на свой вопрос, когда нашел проблему.
Я еще не обновил хранилище доверия веб-сервера сертификатом CA (тот же сертификат, что и самозаверяющий). Я, наконец, сделал это, но только в отчаянии, так как моей единственной целью в этот момент была возможность выбрать сертификат, но не обязательно, чтобы соединение было успешным.
Очевидно, что рабочий процесс рукопожатия таков, что IE знает, каким сертификатам будет доверять веб-сервер, поэтому при отсутствии совпадений опция сертификата не отображается. Я бы подумал, что IE позволит вам выбрать любой сертификат, и если он не будет доверен веб-серверу, то соединение просто оборвется. Интересно.