Если вы действительно хотите избежать STL и т. Д., То почему бы и нет:
arr_ = new char*[INITIAL_SZ]();
Вы даже можете поместить это в список инициализатора.
Не забудьте вызвать delete [] arr_
в вашем деструкторе. (Как указывает @Nawaz ниже, вам, вероятно, следует также следовать правилу трех и определить подходящий конструктор копирования и оператор присваивания.)