Также обратите внимание, что вы должны использовать одинарные кавычки ('), а не обратные кавычки (`) для значений. Обратные ссылки используются при обращении к именам столбцов / имен полей.
Это:
`field` = '$value'
вместо этого:
`field` = `$value`
, если вы действительно не хотите ссылаться на другое поле. Это иногда то, что вы хотите, когда копируете значения или совпадаете с JOIN и тому подобное. Но поскольку у вас там есть переменная, я предполагаю, что вы хотите использовать одинарные кавычки, а не обратные кавычки.