Если вы используете Java 7, используйте java.nio.file.Files.copy(Path source, Path target, CopyOption... options)
Используйте параметр COPY_ATTRIBUTES, чтобы сохранить время последнего изменения:
COPY_ATTRIBUTES Попытки скопировать атрибуты файла, связанные с этимфайл в целевой файл.Точные атрибуты файла, которые копируются, зависят от платформы и файловой системы и поэтому не определены. Как минимум, время последнего изменения копируется в целевой файл, если поддерживается как исходным, так и целевым хранилищем файлов .Копирование временных меток файлов может привести к потере точности.
Добавлено выделение
Для Java 6 и более ранних версий Apache commons имеет функцию для копирования файлов
org.apache.commons.io.FileUtils.copyFile(File srcFile, File destFile,
boolean preserveFileDate)
Обратите внимание на комментарии
Установка для preserveFileDate значения true пытается сохранить дату / время последнего изменения файла с помощью File.setLastModified (long), однако это не гарантирует успешного завершения операции.Если операция модификации завершается неудачно, никаких указаний не предоставляется.
При этом будет пытаться сохранить только дату изменения, а не другие атрибуты файла.
В противном случае вам придется использовать Runtime.exec или что-то подобное для запуска внешнего процесса.