Обновите HTML в своем div с идентификатором 'myDiv':
function showResponse(responseText, statusText, xhr, $form) {
alert("Success!");
$('#myDiv').html('YAY!');
}
РЕДАКТИРОВАТЬ
Чтобы уточнить мой ответ на основе комментариев, вы должны сделатьчто-то вроде этого, чтобы обновить данные в div:
var $newData = $(document.createElement('div'))
.append(
$(document.createElement('div'))
.append("First Name: "+results.User.first_name)
)
.append(
$(document.createElement('div'))
.append("Last Name: "+results.User.last_name)
);
$('#DivName').html($newData);
Это создает новый элемент HTML с данными, основанными на поддельном объекте результатов.Вам придется настроить свой код на основе того, как вы возвращаете данные из вашего вызова ajax, но это должно дать вам представление о том, как обновить данные без обновления всей страницы.