Ссылаясь на Документы Google , используйте следующий код:
contentscript.js
chrome.runtime.sendMessage({value: "hello"}, null);
popup.html
chrome.runtime.onMessage.addListener(
function myFunc(request, sender, sendResponse) {
doStuffWithValue(request.value);
chrome.runtime.onMessage.removeListener(myFunc); //if you want to stop listening after receiving the message
});