Form1 - это имя type , вам нужен объект. Я не вижу контекста кода, но пока этот код написан внутри метода класса Form1, this-> будет работать.
public ref class Form1 : public System::Windows::Forms::Form
{
//...
public:
void setUsers() {
array<String^>^ connectedUsers = gcnew array<String^> {"John", "Alex", "Phillip", "Steve"};
this->txt_connectedClients->AppendText(connectedUsers[1]);
}
};
Помните, что вы программируете на языке C ++ / CLI, а не на C ++.