Можно ли перетаскивать элементы списка из 1 DropDownlist в другой DropDownlist с чистым ASP.NET и C # без использования JavaScript?
Нет, это невозможно без JavaScript.
Это поведение на стороне клиента. ASP.NET - это серверная технология. Так что нет, это невозможно без JavaScript.