На странице «Задать вопрос» текст из текстового поля становится кнопкой, поэтому у вас теперь есть два компонента.
Первый вопрос: зачем вам использовать клавишу табуляции для этой обработки. Как пользователь сможет покинуть текстовое поле? Все графические интерфейсы должны быть разработаны для удобства использования с клавиатурой и мышью.
Итак, я бы начал с JPanel, которая содержит одно текстовое поле. Затем, когда нажата клавиша «Ввод», вы удаляете текст из текстового поля, создаете JButton с текстом и вставляете кнопку в положение 0 панели. Вы можете сделать эту обработку, добавив ActionListener в текстовое поле для обработки клавиши Enter.