Вам нужно использовать фоновую страницу для выполнения AJAX-запросов из скрипта контента.
Код фоновой страницы:
chrome.extension.onRequest.addListener(function(request, sender, callback) {
$.ajax({
type: "GET",
dataType: 'html',
url: request.url,
username: "username",
password: "X",
success: callback
});
});
Код сценария содержимого:
chrome.extension.sendRequest({'url': 'https://site.basecamphq.com'}, function(data) {
$("#example").append(data);
});