Возможно (по крайней мере для значений IEEE 754 float и double) вычислить наибольшее значение с плавающей запятой с помощью (псевдокода):
~(-1.0) | 0.5
Прежде чем мы сможем выполнить битовый твидлинг, нам нужно будет преобразовать значения с плавающей точкой в целые числа, а затем обратно. Это можно сделать следующим образом:
uint64_t m_one, half;
double max;
*(double *)(void *)&m_one = -1.0;
*(double *)(void *)&half = 0.5;
*(uint64_t *)(void *)&max = ~m_one | half;
Так как это работает? Для этого нам нужно знать, как будут кодироваться значения с плавающей точкой.
Старший бит кодирует знак, следующие k биты кодируют показатель степени, а младшие биты будут содержать дробную часть. Для степеней 2 дробная часть равна 0.
Показатель степени будет сохранен со смещением (смещением) 2**(k-1) - 1, что означает, что показатель 0 соответствует шаблону со всеми установленными битами, кроме самого старшего.
Существуют две битовые комбинации экспоненты со специальным значением:
- если бит не установлен, значение будет
0, если дробная часть равна нулю; в противном случае значение является ненормальным
- если установлены все биты, значение равно
infinity или NaN
Это означает, что наибольший регулярный показатель будет закодирован путем установки всех битов, кроме младшего, что соответствует значению 2**k - 2 или 2**(k-1) - 1, если вы вычесть смещение.
Для значений double, k = 11, то есть максимальный показатель будет равен 1023, поэтому наибольшее значение с плавающей запятой имеет порядок 2**1023, что составляет около 1E+308.
Наибольшее значение будет иметь
- бит знака установлен на
0
- все биты, кроме младшего показателя степени, установлены на
1
- все дробные биты установлены в
1
Теперь можно понять, как работают наши магические числа:
-1.0 имеет свой установленный бит знака, экспонента - это смещение - т.е. присутствуют все биты, кроме старшего - и дробная часть равна 0~(-1.0) имеет только самый большой бит экспоненты и все дробные биты установлены 0.5 имеет знаковый бит и дробную часть 0; экспонента будет смещением минус 1, т.е. будут присутствовать все, кроме старшего и младшего битов экспоненты
Когда мы объединяем эти два значения с помощью логического или, мы получим требуемый битовый шаблон.
Вычисление также работает для 80-битных значений повышенной точности x86 (также известных как long double), но битовое перемешивание должно выполняться побайтово, поскольку нет целочисленного типа, достаточно большого, чтобы хранить значения на 32-битном оборудовании .
На самом деле смещение не обязательно должно быть 2**(k-1) - 1 - оно будет работать при произвольном смещении, пока оно нечетное. Смещение должно быть нечетным, потому что в противном случае битовые комбинации для показателя степени 1.0 и 0.5 будут отличаться в других местах, чем младший бит.
Если базовое значение b (он же radix) типа с плавающей запятой не равно 2, вам нужно использовать b**(-1) вместо 0.5 = 2**(-1).
Если наибольшее значение показателя не зарезервировано, используйте 1.0 вместо 0.5. Это будет работать независимо от базы или смещения (то есть больше не ограничено нечетными значениями). Разница в использовании 1.0 заключается в том, что младший бит экспоненты не будет очищен.
Подведем итог:
~(-1.0) | 0.5
работает до тех пор, пока основание равно 2, смещение нечетное и максимальный показатель зарезервирован.
~(-1.0) | 1.0
работает для любого радиуса или смещения до тех пор, пока максимальный показатель не зарезервирован.