webclient удаляет ваши заголовки аутентификации клиентов, и не без причины! Если вы будете перенаправлены на , кто знает, где? , вы, конечно же, не захотите отправлять им свою информацию для аутентификации!
Если вы перенаправлены куда-то в тот же каталог (я думаю?), Тогда вы можете использовать
Request.PreAuthenticate = true
но есть вероятность, что вам потребуется настроить программу для обработки перенаправления вручную, а затем использовать запрос веб-клиента для подключения к нужному серверу.