Я не уверен на 100% в совместимости браузера, но вы можете иметь два div - внешний div и внутренний div. Внутренний div будет иметь весь ваш контент. Ваш CSS может выглядеть так:
#outer {
width: 200px;
height: 200px;
overflow:hidden;
}
#inner {
height: 200px;
width: 225px;
overflow: scroll;
}
То есть внутренний блок должен быть достаточно широким, чтобы содержать полосу прокрутки, но он должен быть скрыт от глаз содержащим div. Это сработало для меня в webkit. Возможно, вам придется поэкспериментировать с шириной, чтобы текст не обрезался.
Тем не менее, я бы тщательно подумал, ПОЧЕМУ вы пытаетесь это сделать. Это может быть огромной проблемой юзабилити для ваших пользователей, так как они не будут иметь никаких признаков того, что внутри div больше контента.