Если вы объявляете переменную вне функции, а затем присваиваете ей значение внутри функции, она должна быть доступна в другом месте. Пока вы уверены, что будет назначено значение. Если вы не уверены, вы можете назначить значение по умолчанию:
$(function() {
var bwr_w; // or 'var bwr_w = default_value;'
function init() {
bwr_w = $(window).width();
}
init();
$('#button').click(function() {
alert('The Browser Height is' + bwr_w);
});
});