В качестве проверки работоспособности, вы уже пытались выполнить WebRequest.DownloadString("http://rapideo.pl/wyloguj")
, а затем просто отбросить возвращенные данные?
Если это не сработает, можно попробовать посмотреть на запрос / ответ.сообщения в таком инструменте, как Fiddler, чтобы увидеть, что именно происходит по проводам, когда вы выходите из браузера, а не программно.
Кроме того, в целом, похоже, что имя пользователя и пароль отправляютсяясно как часть логина.Не уверен, что для этого сайта доступна конечная точка входа в систему HTTPS, но это будет что-то, что нужно рассмотреть.