Сегодня утром я нашел решение, которое, кажется, работает.
Часть Java
Инициализируйте ваш WebView:
WebView _webView = (WebView) this.findViewById(R.id.id_of_your_webview_in_layout);
получить настройки WebView:
WebSettings settings = _webView.getSettings();
установить следующие настройки:
settings.setJavaScriptEnabled(true);
settings.setAllowFileAccessFromFileURLs(true); //Maybe you don't need this rule
settings.setAllowUniversalAccessFromFileURLs(true);
теперь вы можете загрузить свой HTML-файл стандартным способом:
_webView.loadUrl("file:///android_asset/www/index.html");
Часть Javascript
Создание XHR-запроса стандартным способом
var xhr = new XMLHttpRequest();
xhr.open("get", "http://google.com", false);
xhr.send();
Печать результата где-нибудь
document.body.innerHTML = xhr.responseText
УВЕДОМЛЕНИЕ: Эта процедура работает только на уровне API 16 или выше (по крайней мере, в документации это указано).