Чтобы добавить его сразу же, попробуйте:
var employees = (from u in Emp select new { u.ID, u.Name, u.BirthDate }).ToList();
comboBox1.DataSource = employees;
if(employees.Any())
TextBox1.Text = employees.First(x => x.BirthDate);
Чтобы динамически изменить его при изменении комбинированного списка, вы можете добавить следующий обработчик события в событие SelectionChangeCommitted:
private void comboBox1_SelectionChangeCommitted(object sender, EventArgs e)
{
ComboBox senderComboBox = (ComboBox) sender;
var selectedObject = senderComboBox.SelectedItem;
if(selectedObject == null) return;
TextBox1.Text = ((IEnumerable<Employee>)senderComboBox.DataSource)
.First(emp => emp.ID == senderComboBox.Value).BirthDate;
}
(Предполагается, что дата рождения уже является строкой);