Скалярное тройное произведение и определитель

Question

Я кое-что заметил, когда пытался решить проблему сегодня. Скалярное тройное произведение совпадает с определителем или матрицей три на три с тремя векторами в виде строк:

A = [ a , b , c ]

дет (A) = ( a X b ) * c

Я сталкивался с этим в Рендеринг в реальном времени , и я не могу понять, почему это так, или если это даже полезно. Кажется, это как-то связано с кратким методом вычисления перекрестного произведения с использованием определителя, в котором вы записываете единичные векторы в верхней части матрицы, но я всегда думал, что это скорее мнемоника, а не математика.

Есть ли здесь реальные отношения или это просто какое-то счастливое совпадение?

Answer 1

С точностью до знака определитель матрицы n-by-n представляет собой объем параллелепипеда, охватываемого его n-мерными векторами строки (или столбца) (или объемом единичного куба) линейно преобразован этой матрицей). Продукт (axb) .c в трех измерениях абсолютно одинаков; axb дает вектор, перпендикулярный a и b и имеющий длину, равную площади параллелограмма, натянутого на a и b; (axb) .c дает высоту c над этим параллелограммом, умноженную на его площадь. Так что нет, это не случайно.

Answer 2

Совпадений нет вообще; это довольно стандартный результат. Обратите внимание, что перекрестные произведения a X b часто записываются в детерминантной форме, причем верхняя строка представляет собой единичные векторы i j k, следующая строка - a1 a2 a3, а нижняя строка - b1 b2 b3.

|i  j   k|
|a1 a2 a3|
|b1 b2 b3|

Теперь, взяв точечный продукт этого с другим вектором c, вы получите то же самое, как если бы вы только что написали c в верхнем ряду.

|i  j   k|                      |c1 c2 c3|     |c1 c2 c3|    |a1 a2 a3|
|a1 a2 a3| .  (c1,c2,c3)  =     |a1 a2 a3|  = -|a1 a2 a3|  = |b1 b2 b3|
|b1 b2 b3|                      |b1 b2 b3|     |b1 b2 b3|    |c1 c2 c3|

Редактировать: Также на странице Википедии для скалярного тройного произведения говорится, что она эквивалентна определителю матрицы, использующей векторы в качестве строк или столбцов. * 1009 что и требовалось доказать *