Вы не можете автоматически установить любой apk без разрешения пользователя.В лучшем случае вы можете загрузить файл apk, а затем предложить пользователю сообщить ему, что вы хотите, чтобы это приложение было установлено.
Итак, если у веб-приложения есть необходимые API, вы можете написать некоторый кодзапросить и получить последние доступные версии, а затем, наконец, загрузить и предложить пользователю.
Существует намерение запустить это действие подтверждения.
Intent intent = new Intent(Intent.ACTION_VIEW);
intent.setFlags(Intent.FLAG_ACTIVITY_NEW_TASK);
intent.setDataAndType(Uri.fromFile(new File("link to downloaded file")),"application/vnd.android.package-archive");
startActivity(intent);