Я считаю, что элемент управления webbrowser - это просто оболочка Internet Explorer, поэтому файлы cookie являются общими для всех элементов управления webbrowser и самого Internet Explorer - кто-то исправит меня, если я ошибаюсь.
Полагаю, вы можете удалить все файлы cookie в: Environment.GetFolderPath(Environment.SpecialFolder.Cookies)
Но я сомневаюсь, что вы сможете сделать это, пока загружен веб-браузер.