Если вы перезагрузите всю страницу, вы должны отправить некоторую информацию на новую страницу.Чтобы достичь этого, вы должны изменить ссылки пунктов вашего подменю или установить cookie.При загрузке страницы вы должны проанализировать эту информацию (URL или cookie) и применить ее к своему меню.Вы также можете использовать некоторый код на стороне сервера, чтобы иметь предварительно обработанный HTML-код, в котором ваше подменю уже открыто.
В этом случае jsFiddle не является хорошим помощником, чтобы показать вам, как он может работать.
РЕДАКТИРОВАТЬ:
Вы можете сделать следующее (не проверено):
Дать верхнему меню <div>
уникальный идентификатор, то есть
<div class="menutop" id="posts">
Добавить хэш для каждого URL-адреса подэлемента, например
<li><a href="/Post/New#posts">Add New</a></li>
Попробуйте этот хеш, чтобы открыть меню
$(document.location.hash).click();