Ваши две кнопки отправки отправляют одно и то же значение, и нет никакого различия между двумя изображениями.
Возможно, измените код на:
<td><input type="submit" name="winner" value="Vote for Img #1"></td>
<td><input type="submit" name="winner" value="Vote for Img #2"><td>
и затем в коде обработки голосования:
switch($_POST['winner']) {
case "Vote for Img #1":
$vote_id = $_POST['first'];
break;
case "Vote for Img #2":
$vote_id = $_POST['second'];
break;
default:
die("VOTER FRAUD! CALL THE FEC!");
}