Если у вас есть возможность выбрать что-то отличное от Asterisk, я порекомендую вам Plivo Framework на основе FreeSwitch, который предоставит вам простые API на основе REST для интеграции служб телефонии в ваше приложение.
В противном случае для создания чего-либо на Asterisk вам следует использовать AMI ( Asterisk Manager Interface ) и AGI ( Asterisk Gateway Interface )