Как указывает Eranga, вам придется вручную вводить свойство при первом доступе к MembershipProvider. Вы ничего не можете с этим поделать, так как MembershipProvider загружает свой экземпляр глубоко в недрах asp.net.
Однако я бы предложил, чтобы вы НЕ использовали внедрение зависимостей с этим. Так как членство провайдера является статическим классом. Он создается один раз для каждого приложения, и, таким образом, соединение остается открытым в течение всего срока службы пула приложений.
Для моего нестандартного провайдера я обычно просто обновляю свои экземпляры, чтобы можно было лучше поддерживать время жизни соединения. Это отстой, но я чувствую, что это лучше, чем оставлять висящее соединение, лежащее вокруг.