Вам просто нужно сделать публичное свойство getter для имен
public IEnumerable<string> Names
{
get{return names;}
}
Это не обязательно свойство зависимости.
И тогда ваш xaml может быть
<ItemsControl ItemsSource="{Binding Names}" />
Edit:
Просто перечитайте свое название. Если вы хотите, чтобы имена были приватными, вам нужно выполнить привязку внутри кода.
Binding b = new Binding();
b.Source = names;
itemsControl.SetBinding(ItemsControl.ItemsSourceProperty, b);