Если флэш-компонент вызывает перенаправление на ту же страницу, вы наверняка потеряете все значения в элементах управления asp. Я не думаю, что есть какой-то способ обойти это.
Чтобы проверить, является ли это редиректом или постбэком, установите точку останова внутри метода Page_Load вашей страницы. Нажмите кнопку на элементе управления вспышкой и проверьте значение Page.IsPostback.
Если значение равно false и вы не можете изменить код компонента flash, я не вижу простого способа решения проблемы.
Вы можете создать метод страницы или метод службы, который будет вызываться всякий раз, когда изменяется значение текстового поля или флажка, отправлять их обратно с помощью ajax и сохранять их в сеансе. Тогда они будут там, когда пользователь нажимает кнопку на компоненте flashh. Это что-то вроде взлома, но это сработает.