Для чтения журнала из вашего приложения вам нужно разрешение android.permission.READ_LOGS.
Как только вы это сделаете, вы можете запустить процесс чтения logcat с чем-то вроде
Process logcatProcess = Runtime.getRuntime().exec("logcat");
Затем вы можете создать буферизованный ридер из него:
BufferedReader logcat = new BufferedReader(new InputStreamReader(logcatProcess.getInputStream()), 8192);
Отсюда вы можете String s = logcat.readLine();
прочитать журнал.