Обычно вы тестируете подобные вещи в интеграционном тесте, который фактически подключается к сервису. Чтобы выполнить модульное тестирование, вы должны протестировать объекты, используемые методами doGet / doPost вашего сервлета.
Как правило, вы не хотите, чтобы в ваших методах сервлетов было много кода, вам нужно создать класс bean-компонента для обработки операций и передавать ему свои собственные объекты, а не объекты API сервлета.