Вместо того, чтобы ссылаться на форму по имени, вы можете ссылаться на нее по номеру , т.е. там, где она появляется в форме:
$mech->form_number( 1 );
Номера форм начинаются с единицы.
Аналогично, поскольку в форме есть только одна кнопка , вы можете просто использовать
$mech->click( );
, и она будет отправлять форму при нажатии кнопки.