В основном файлы cookie управляются для вас в среде браузера. Это означает, что любые файлы cookie, установленные сервером, должны появляться на клиенте (даже при использовании XHR) и должны отправляться на сервер с каждым последующим запросом (даже при использовании XHR) - без какого-либо вмешательства.
Если вам действительно нужен доступ к cookie-файлам, как сказал Марсель, вам нужно просто использовать document.cookie
в правильное время после завершения запроса XHR.
См. И этот вопрос