Переместите ваш тег <button>
за пределы <ul>
только <li>
(элементы списка) действительны внутри неупорядоченного списка.
Ниже приведен код JavaScript (с использованием jQuery), необходимый для выполнения того, что вы просите:
$(function() {
//cache the items for quicker access
var items = $('ul#part li');
//bind your event to #next
$('#next').click(function() {
//Check if no elements are visible yet.
if(items.filter(':visible').length == 0) {
items.first().show();
}
else {
//Otherwise, select the last visible one,
//then transverse to the next one and show it
items.filter(':visible:last').next().show();
}
});
});