Вы не можете иметь закрытых членов в этом сценарии, потому что экземпляры вашего DomainContext между двумя вызовами на самом деле являются отдельными объектами. Каждый вызов выполняется атомарно, а серверная часть создает и очищает объект после использования.
Один из вариантов - перенести состояние ваших звонков с сервера на клиент. Пусть первый метод вернет в качестве конкретного класса модель, которая содержит частные значения, которые вы хотите отслеживать. Затем вы можете использовать эту модель в клиенте для вызова метода второго экземпляра. Если вы не хотите, чтобы эти данные передавались по проводам, это не очень хороший вариант.
Второй вариант - просто использовать объекты Session или Cache в ASP.NET, поскольку Silverlight работает в контексте ASP.NET. HttpContext.Current доступен для ваших услуг и связан с пользователем.
Другой вариант - просто объединить оба метода в один метод вызова.