Вот мои быстрые мысли:
Сначала создайте функцию перемещения.
function move(el, from, to){
from.remove(el);
to.append(el);
}
Затем добавьте событие щелчка к каждой стрелке, которая затем захватывает элемент, содержащий студента. Затем удалите его из списка слева и добавьте в список справа. Что-то вроде:
$('.student_arrow').click(function(){
var student = $(this).parent(); // just a guess
move($("#left"), $("#right"), student);
});
Для подключения блока автозаполнения, если каждый элемент учащегося имеет уникальный идентификатор, который вы можете сгенерировать из блока автозаполнения, вы можете затем захватить этот элемент по идентификатору и переместить элемент, как указано выше.