Вы можете использовать функцию разнесения, чтобы разбить строку на массив, основанный на разделителе, в вашем конкретном случае апостроф будет работать, чтобы разделить строку так, чтобы следующий код вывел ваш ответ:
$tokens= explode("'", "Hello my name is 'Kate' and im fine");
//The value you require is now found in $tokens[1];
echo $tockens[1];
В качестве альтернативы вы можете использовать preg_match для хранения совпадений регулярного выражения с определенными группами в регулярном выражении:
$pattern = "Hello my name is '(.*)' and im fine";
preg_match ($pattern , "Hello my name is 'Kate' and im fine", $matches)
//The value you require is now found in $matches[1];
echo $matches[1];