Я не думаю, что есть какой-либо метод, который можно вызвать напрямую, чтобы узнать, закрыт ли поток.
Если вам действительно нужно иметь два потока, совместно использующих этот ридер, лучшим вариантом может быть обратный вызов одного потока к другому потоку или установка флага, чтобы уведомить его о том, что поток закрыт, так что другой поток не знает пытаться читать с него.