Как получить векторное поле, отображающее наклоны уравнения

Question

Привет, так что я читаю эту статью Криса Хекера, где у него есть изображение Параболы, окруженное векторным полем ее производной:

Однако он никогдаупоминает, как именно он получил уравнение векторного поля, и никогда даже не утверждает его.Он говорит, что наложил векторное поле уклонов на рисунке 1, нарисовав решение уравнения уклона, dy / dx = 2x, в виде короткого вектора для каждой координаты сетки.

Как создать векторное поле наклона уравнения в синтаксисе векторного поля
V = xi + yj

Answer 1

Заголовок рисунка будет более понятным, если он будет читать:

• Кривая y = x^2 и векторное поле dy/dx = 2x для общего случая y = x^2 + C

---

На приведенном выше графике работают три уравнения:

1. y = x^2 - Уравнение для нарисованной параболы - Это одна длинная сплошная кривая
2. y = x^2 + C -Уравнение для всех парабол, которые помещаются в векторное поле - C является константой. Это уравнение для всех парабол, вписывающихся в это векторное поле.
3. dy/dx = 2x Уравнение для поля наклона.- Это наклон или производная как для нарисованной кривой, так и для всех возможных кривых, которые можно нарисовать с помощью y = x^2 + C для всех констант C s .

Обратите внимание, что C является константой, поскольку производная от y = x^2 + C с любым C равна 2x.Итак, векторное поле показывает, как нарисовать все разные параболы с разными C с.

---

Итак, есть два способа вычисления векторного поля:

1. Итерировать повыберите желаемый диапазон x и y и рассчитайте наклон, dy/dx - 2x независимо от y, в данном случае - в каждой точке.Вот как это сделал автор.
2. Нарисуйте группу парабол, медленно изменяя C в y = x^2 + C в желаемом диапазоне - скажем, x, вычисляя y.

---

Answer 2

Для дифференциального уравнения dy / dx = f (x, y) (например, dy / dx = 2x в этом случае при f (x, y) = 2x) векторное поле ( F ) будет F = i + f (x, y) j (поэтому в вашем случае F = я + 2x j )