Вы должны структурировать свою программу по-разному.Причина, по которой вы получаете нулевое значение, заключается в том, что ваш класс выполняется до того, как вы напечатаете вывод.
Parser *parserClass = [Parser new];
parserClass.array = [[NSArray alloc]initWithObjects:@"One",@"Two", nil];
NSLog(@"%@", parserClass.array);
Извините, но вы должны структурировать свой класс по-другому.
Или вы можете использовать (AppDelegate *)[[UIApplication sharedApplication]delegate];
разрешить совместное использование между классом и AppDelegate, а затем подклассом соответственно.