Попробуйте установить следующее в вашем файле web.config - это должно создать ваш файл cookie с доменом «.mydomain.local», доступным из обоих поддоменов.
<system.web>
<httpCookies domain=".mydomain.local" httpOnlyCookies="true"/>
</system.web>
Я полагаю, что это должно сработать, но если нет, вам потребуется некоторое изменение файла cookie сеанса или управление сеансом в вашем коде позади.